اقتصاد سنجی: وبلاگ دیو گیلز: ریشه های واحد فصلی

یک پرسش ایمیل اخیر در مورد زبانی که در زمینه داده‌های فصلی غیر ثابت استفاده می‌کنیم و اینکه چگونه باید به وجود “ریشه‌های واحد فصلی” پاسخ دهیم، به من پیشنهاد داد که یک پست اصلی کوتاه در مورد برخی از این موارد ممکن است مناسب باشد.

ادبیات اقتصاد سنجی گسترده ای در مورد فصلی بودن تصادفی و آزمایش ریشه های واحد فصلی وجود دارد، و این تاریخ حداقل به سال 1990 برمی گردد. این موضوع به سختی جدید است، اما اغلب در کاربردهای تجربی نادیده گرفته می شود.

اگرچه آزمایش‌های متعددی برای ریشه‌های واحد فصلی وجود دارد، اما متداول‌ترین آنها آزمایشی است که توسط Hylleberg پیشنهاد شده است و همکاران. (1990) – از این پس “HEGY”. بسته به بسته‌های آماری/اقتصادی که ترجیح می‌دهید استفاده کنید، حداقل به آزمون(های) HEGY و شاید برخی دیگر دسترسی خواهید داشت. به عنوان مثال، ترکیباتی وجود دارد که می توانید با R، stata و Gretl استفاده کنید.

من در اینجا وارد خود تست ها نمی شوم.

در عوض، اهداف این پست، ابتدا ارائه برخی اطلاعات پس زمینه در مورد زبانی است که هنگام صحبت در مورد ریشه های تک فصلی استفاده می شود. به عنوان مثال، چرا ما در مورد ریشه در فرکانس صفر، π، و غیره.؟ دوم، به چه روشی باید سری های زمانی را برای حذف ریشه های واحد در فرکانس های مختلف فیلتر کنیم؟

بیایید با نگاه کردن به یک شروع کنیم سه ماه یکبار سری زمانی، X_تی (t = 1، 2، ……..). ما از نماد “L” برای نشان دادن عملگر تاخیر استفاده خواهیم کرد. بنابراین. L(X_تی) = X_t-1; L²(H_تی) = L(L(X_تی)) = L(X_t-1) = X_t-2; و غیره. به طور کلی، L^ک(H_تی) = X_زیرا.

اگر تفاوت بین مقدار سری، X، اکنون و مقدار آن در چهار چهارم (یک سال) قبل را در نظر بگیریم، می‌توانیم آن را با (X) نشان دهیم._تی – اچ_t-4) = (X_تی – ال⁴ایکس_تی) = (1 – L⁴) H_تی. بیایید نگاهی دقیق تر به معادله چند جمله ای (1 – L⁴) = 0، در عملگر تاخیر و بپرسید ریشه های آن چیست؟

ما می توانیم فاکتور (1 – L⁴) به شرح زیر است:

(1 – L⁴) = (1 – L²)(1 + L²)
= (1 – L) (1 + L) (1 + L)²) = (1 – L) (1 + L) (1 + iL) (1 – iL) = 0، (1)

در واقع، هر یک از این ریشه ها را می توان به صورت اعداد مختلط، هر کدام به شکل (x + iy) نوشت. به عنوان مثال، ریشه L = 1 مربوط به حالت x = 1، y = 0 است. همچنین ممکن است به یاد داشته باشید که به جای بیان یک عدد مختلط بر حسب مختصات دکارتی، می توانیم آن را بر حسب بنویسیم. مختصات قطبی. یعنی می توانیم آن را به شکل r(cosθ + i sinθ) بنویسیم، جایی که “r” همان چیزی است که ما آن را “مختصات شعاعی” می نامیم و θ “مختصات زاویه ای” است. بدون از دست دادن کلیت، اولی را عادی کرده و r =1 را در موارد زیر تنظیم می کنیم.

بیایید به نمودارهایی برای توابع سینوس و کسینوس نگاه کنیم، با آرگومان (x) که در رادیان اندازه گیری می شود:

به همین ترتیب، ریشه (1) مربوط به L = -1 را می توان به صورت (-1 + i0) = (cosθ + i sinθ) نوشت، و از نمودارهای سینوس و کسینوس می توانیم ببینیم که این به این معنی است که θ = π (یا پی +/- مضربی از 2p). این مجموعه اکنون دو دوره در سال را نشان می دهد.

(نیازی نیست نگران مضرب های اضافی 2π باشیم، زیرا ما را بیش از یک بار دور دایره می برد. پس بیایید این جزئیات را فراموش کنیم.)

سرانجام ریشه های (1) مربوط به L = +/-i را می توان به صورت (0 +/- i) = (cosθ + i sinθ) نوشت، و از نمودارهای سینوس و کسینوس می توانیم ببینیم که این به این معنی است که θ = π /2 یا 3π/2. در حال حاضر چهار چرخه در سال در داده ها وجود دارد.

به طور خلاصه، می‌توانیم ریشه‌هایی از معادله (1) داشته باشیم که با یک یا چند فرکانس صفر، π یا π/2 یا 3π/2 مطابقت دارد. علاوه بر این، این دو فرکانس آخر باید واقعاً به عنوان یک جفت در نظر گرفته شوند – بالاخره آنها به یک جفت مزدوج پیچیده در سیستم مختصات دکارتی مربوط می شوند، در حالی که دو ریشه دیگر “واقعی” هستند.

در مورد زبان مرتبط با ریشه های تک فصلی بسیار زیاد است.

فیلتر کردن داده ها

چه فیلترهایی برای حذف ریشه های مختلف نیاز است تا سری X ثابت شود؟

(من) اگر L = 1 باشد، این مربوط به تبدیل یا فیلتر (1 – L)X است_تی = 0. به عبارت دیگر، اگر یک ریشه واحد در فرکانس صفر وجود داشته باشد، باید Y را بسازیم_تی = (1 – L)X_تی = (X_تی – اچ_t-1) برای به دست آوردن یک سری ثابت. اولین جداسازی معمول داده ها مناسب است.

(II) اگر L = -1، آنگاه این مربوط به فیلتر (1 + L)X است_تی = 0. یعنی اگر یک ریشه واحد در فرکانس π وجود داشته باشد، باید Y را بسازیم_تی = (1 + L)X_تی = (X_تی + X_t-1) برای به دست آوردن یک سری ثابت. توجه داشته باشید که این فیلتر خاص انجام نده شامل “تفاوت” داده ها است.